Question

如圖甲，在平面四邊形ABCD中，已知,,現將四邊形ABCD沿BD折起，使平面ABD平面BDC（如圖乙），設點E、F分別為棱AC、AD的中點．

（Ⅰ）求證：DC平面ABC；
（Ⅱ）設，求三棱錐A－BFE的體積．

Answer 1

（1）對于線面垂直的證明，一般先證明線線垂直，然后根據DC⊥BC，以及AB⊥CD．來得到。
（2）

解析試題分析：（Ⅰ）證明：在圖甲中∵且 ∴ ,
即
在圖乙中，∵平面ABD平面BDC ， 且平面ABD平面BDC＝BD
∴AB⊥底面BDC，∴AB⊥CD．
又，∴DC⊥BC,且
∴DC平面ABC．
（Ⅱ）解：∵E、F分別為AC、AD的中點
∴EF//CD，又由（Ⅰ）知，DC平面ABC，
∴EF⊥平面ABC，
∴
在圖甲中，∵, ∴,
由得 ,
∴   ∴
∴.
考點：線面垂直，和幾何體體積
點評：主要是考查了空間中線面垂直的證明，以及三棱錐的體積的求解，屬于基礎題。