Question

【題目】在數列{an}中，已知a1=1，a2=2，an+2= （k∈N*）．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）求滿足2an+1=an+an+2的正整數n的值；
（3）設數列{an}的前n項和為Sn ， 問是否存在正整數m，n，使得S2n=mS2n﹣1？若存在，求出所有的正整數對（m，n）；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由a1=1，a2=2，an+2= （k∈N*）．可得數列{an}的奇數項是以1為首項，公差為2的等差數列；偶數項是以2為首項，公比為3的等比數列．

∴對任意正整數k，a2k﹣1=1+2（k﹣1）=2k﹣1；a2k=2×3k﹣1．

∴數列{an}的通項公式an= ，k∈N*

（2）解：①當n為奇數時，由2an+1=an+an+2可得： =n+n+2，化為： =n+1，

令f（x）=2× ﹣x﹣1（x≥1），

由f′（x）= × ×ln ﹣1≥ ﹣1=ln3﹣1＞0，

可知f（x）在[1，+∞）上是增函數，

∴f（x）≥f（1）=0，

∴當且僅當n=1時，滿足 =n+1，即2a2=a1+a3．

②當n為偶數時，由2an+1=an+an+2可得：2（n+1）=2 +2× ，

化為：n+1= + ，

上式左邊為奇數，右邊為偶數，因此不成立．

綜上，滿足2an+1=an+an+2的正整數n的值只有1

（3）解：S2n=（a1+a3+…+a2n﹣1）+（a2+a4+…+a2n）= + =3n+n2﹣1，n∈N*．

S2n﹣1=S2n﹣a2n=3n﹣1+n2﹣1．

假設存在正整數m，n，使得S2n=mS2n﹣1，

則3n+n2﹣1=m（3n﹣1+n2﹣1），

∴3n﹣1（3﹣m）=（m﹣1）（n2﹣1），（*）

從而3﹣m≥0，∴m≤3，

又m∈N*，∴m=1，2，3．

①當m=1時，（*）式左邊大于0，右邊等于0，不成立．

②當m=3時，（*）式左邊等于0，∴2（n2﹣1）=0，解得n=1，∴S2=3S1．

③當m=2時，（*）式可化為3n﹣1=（n+1）（n﹣1），

則存在k1，k2∈N*，k1＜k2，使得n﹣1= ，n+1= ，且k1+k2=n﹣1，

從而 = =2，∴ ﹣ =2， =1，

∴k1=0，k2﹣k1=1，于是n=2，S4=2S3．

綜上可知，符合條件的正整數對（m，n）只有兩對：（2，2），（3，1）

【解析】（1）由題意可得數列{an}的奇數項是以1為首項，公差為2的等差數列；偶數項是以2為首項，公比為3的等比數列．分別利用等差數列與等比數列的通項公式即可得出．（2）①當n為奇數時，由2an+1=an+an+2可得： =n+n+2，化為： =n+1，令f（x）=2× ﹣x﹣1（x≥1），利用導數研究函數的單調性即可得出．②當n為偶數時，由2an+1=an+an+2可得：2（n+1）=2 +2× ，化為：n+1= + ，即可判斷出不成立．（3）S2n=（a1+a3+…+a2n﹣1）+（a2+a4+…+a2n）=3n+n2﹣1，n∈N* ． S2n﹣1=S2n﹣a2n=3n﹣1+n2﹣1．假設存在正整數m，n，使得S2n=mS2n﹣1 ， 化為3n﹣1（3﹣m）=（m﹣1）（n2﹣1），可得1，2，3．分類討論即可得出．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數列的前n項和的相關知識，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系，以及對數列的通項公式的理解，了解如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．