Question

【題目】四邊形ABCD為矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC，F為CE上的點，且BF⊥平面ACE．

（1）求證：AE⊥BE；

（2）設M在線段AB上，且滿足AM=2MB，試在線段CE上確定一點N，使得MN∥平面DAE．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）N點為線段CE上靠近C點的一個三等分點．

【解析】試題分析：（1）由和平面，證明，再由平面得，根據線面垂直的判定定理證出平面，即證出；（2）在中過點作交于點，在中過點作交于點，連，證明平面平面，可得平面，從而可得結論.

試題解析：

證明：（1）∵BF⊥平面ACE，AE平面ACE，

∴BF⊥AE，BF⊥CE，

∵EB=BC，∴F是CE的中點，

又∵AD⊥平面ABE，AD平面ABCD，

∴平面ABCD⊥平面ABE，

∵平面ABCD∩平面ABE=AB，BC⊥AB

∴BC⊥平面ABE，

從而BC⊥AE，且BC∩BF=B，

∴AE⊥平面BCE，BE平面BCE，

∴AE⊥BE；

（2）在△ABE中過M點作MG∥AE交BE于G點，

在△BEC中過G點作GN∥BC交EC于N點，連MN，

∴CN=CE．

∵MG∥AE，MG平面ADE，AE平面ADE，

∴MG∥平面ADE．

同理，GN∥平面ADE，且MG與GN交于G點，

∴平面MGN∥平面ADE．

又MN平面MGN，

∴MN∥平面ADE．

故N點為線段CE上靠近C點的一個三等分點．

【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理、直線和平面垂直的判定定理，屬于難題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關鍵是設法在平面內找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質或者構造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質，即兩平面平行，在其中一平面內的直線平行于另一平面.