Question

【題目】如圖，已知長方形中， 的中點，將沿折起，使得平面平面.

（1）求證： ；

（2）設，當為何值時，二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) .

【解析】試題分析：(1)設， 為的中點，得，進而得平面，即可得到.

(2)取的中點，以為坐標原點，建立如圖所示的直角坐標系，求得平面的一個法向量為和平面的一個法向量，即可利用向量的夾角公式，即得到二面角的余弦值.

試題解析：

(1)證明：因為長方形中，設， 為的中點，

所以，所以，因為平面平面，

平面平面平面，

所以平面，因為平面，所以.

(2)取的中點，以為坐標原點，因為平面，

建立如圖所示的直角坐標系，則平面的一個法向量， ，

由，

設平面的一個法向量為，聯立，取，

得 ，所以，

因為，求得，所以為的中點，

故點時，二面角的余弦值為.