Question

【題目】已知圓F1：（x+1）2+y2=16，定點F2（1，0），A是圓F1上的一動點，線段F2A的垂直平分線交半徑F1A于P點． （Ⅰ）求P點的軌跡C的方程；
（Ⅱ）四邊形EFGH的四個頂點都在曲線C上，且對角線EG，FH過原點O，若kEGkFH=﹣ ，求證：四邊形EFGH的面積為定值，并求出此定值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：因為P在線段F2A的中垂線上，所以|PF2|=|PA|． 所以|PF2|+|PF1|=|PA|+|PF1|=|AF1|=4＞|F1F2|，
所以軌跡C是以F1 ， F2為焦點的橢圓，且c=1，a=2，所以 ，
故軌跡C的方程 ．
（Ⅱ）證明：不妨設點E、H位于x軸的上方，
則直線EH的斜率存在，設EH的方程為y=kx+m，E（x1 ， y1），H（x2 ， y2）．
聯立 ，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，
則 ．①
由 ，
得 ．②
由①、②，得2m2﹣4k2﹣3=0．③
設原點到直線EH的距離為 ， ， ④
由③、④，得 ，故四邊形EFGH的面積為定值，且定值為 ．
【解析】（Ⅰ）利用橢圓的定義，即可求P點的軌跡C的方程；（Ⅱ）不妨設點E、H位于x軸的上方，則直線EH的斜率存在，設EH的方程為y=kx+m，與橢圓方程聯立，求出面積，即可證明結論．