Question

如圖，底面是邊長為2的菱形，且，以與為底面分別作相同的正三棱錐與，且.

（1）求證：平面；
（2）求平面與平面所成銳角二面角的余弦值.

Answer 1

（1）證明過程見解析；（2）.

試題分析：（1）作面于，作面于 ，易得四邊形是平行四邊形，所以.又面，面，所以平面;
（2）以為軸的正方向，以為軸的正方向，在平面中過點作面的垂線為軸，建立空間直角坐標系求題，利用向量，求出平面和平面的法向量，則兩平面的法向量的夾角即為所求角或為所求角的補角.
（1）作面于，作面于 ，因與都是正三棱錐， 且、分別為與的中心，

且  .    
所以四邊形是平行四邊形，所以.
又面，面，所以平面
（2）如圖，建立空間直角坐標系，、、、、. 
     
、、
、.…7分
設為平面的法向量，


            
設為平面的法向量，

            
                                          
設平面與平面所成銳二面角為，                    
  
所以，面與面所成銳二面角的余弦值為.