Question

如圖，正方形A₁BA₂C的邊長為4，D是A₁B的中點，E是BA₂上的點，將△A₁DC
及△A₂EC分別沿DC和EC折起，使A₁、A₂重合于A，且平面ADC⊥平面EAC．
（1）求證：AC⊥DE；

（2）求二面角A-DE-C的余弦值。

Answer 1

（1）證明過程詳見試題解析；（2）二面角的余弦值為.

試題分析：（1）由已知條件證出互相垂直，以為坐標系原點建立空間坐標系，寫出各點坐標，求出即證得AC⊥DE；（2）先求出平面DCE的法向量，平面的法向量，兩法向量的夾角即為所求.
∵平面平面，且
∴平面,∴
設，在Rt，
，∴是中點
分別以AD,AE,AC為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系

（1）

(2)設平面DCE的法向量為
，且
，
又平面,∴平面的法向量為.
∴二面角的余弦值為