Question

【題目】已知函數f（x）= ，g（x）=﹣2xln（1+ ）﹣lnf（x）．
（Ⅰ）討論函數f（x）的單調性；
（Ⅱ）當a=0時，函數g（x）在定義域內是否存在零點？如果存在，求出該零點；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函數f（x）的定義域為R，f′（x）= = =

①a=0時，f（′（x）=2× ，可得x∈（﹣∞，1）時，f′（x）＞0，x∈（1，+∞），f′（x）＜0，

此時f（x）在（﹣∞，1）遞增，在（1，+∞）遞減．

②a＞0時，令f′（x）=0，x=1或x=﹣ ，可得x∈（﹣ ，1）時，f′（x）＞0，x∈（1，+∞）∪（﹣∞，﹣ ），f′（x）＜0，

此時f（x）在（﹣ ，1）遞增，在（﹣ ），（1，+∞）遞減．

③a＜0時，令f′（x）=0，x=1或x=﹣ ，

0＞a＞﹣2時，﹣ ，此時f（x）在（﹣∞，1），（﹣ ）遞增，在（1，﹣ ）遞減．

a＜﹣2時，1 ，此時f（x）在（﹣∞，﹣ ），（1，+∞）遞增，在（﹣ ，1）遞減．

a=﹣2時．此時f（x）在（﹣∞，+∞）遞增．

（Ⅱ）當a=0時，函數g（x）在定義域內不存在零點，理由如下：

a=0時，函數g（x）=﹣2xln ﹣ln =﹣2xln（x+1）+2xlnx﹣ln ，（x＞ ）．

函數g（x）在定義域內是否存在零點函數G（x）=﹣2xln（x+1）+2xlnx與R（x）=ln ，（x＞ ）是否有交點．

一方面：由（Ⅰ）知y= 在（﹣∞，1）遞增，在（1，+∞）遞減，可得R（x）=ln ，（x＞ ）在（ ，1）遞增，在（1，+∞）遞減

且x→ ，R（x）→﹣∞，x→+∞，R（x）→﹣∞，R（1）=﹣2＜0

另一方面：G′（x）=2[lnx﹣ln（x+1）+ ]，G″（x）=2[ ﹣ ]＞0在（ ）恒成立．

∴G′（x）在（ ）遞增，而G′（ ）=2（﹣ln3+ ）＜0，x→+∞時，G（x）→0，∴G′（x）＜0．

∴函數G（x）在（ ）遞減，G（ ）=﹣ln3＜0．

由此可以在同一坐標系畫出兩函數，如下：

結合圖象可得，當a=0時，函數g（x）在定義域內不存在零點

【解析】（Ⅰ）函數f（x）的定義域為R，f′（x）= ，分①a=0，②a＞0，③a＜0討論其單調性．（Ⅱ）a=0時，函數g（x）=﹣2xln ﹣ln =﹣2xln（x+1）+2xlnx﹣ln （x＞ ），函數g（x）在定義域內是否存在零點函數G（x）=﹣2xln（x+1）+2xlnx與R（x）=ln ，（x＞ ）是否有交點．分別討論兩函數的單調性，畫出圖象，結合圖象求解．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能正確解答此題．