Question

【題目】已知函數f（x）=x2+4x+a﹣5，g（x）=m4x﹣1﹣2m+7．
（1）若函數f（x）在區間[﹣1，1]上存在零點，求實數a的取值范圍；
（2）當a=0時，若對任意的x1∈[1，2]，總存在x2∈[1，2]，使f（x1）=g（x2）成立，求實數m的取值范圍；
（3）若y=f（x）（x∈[t，2]）的置于為區間D，是否存在常數t，使區間D的長度為6﹣4t？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由． （注：區間[p，q]的長度q﹣p）

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得：f（x）的對稱軸是x=﹣2，

故f（x）在區間[﹣1，1]遞增，

∵函數在區間[﹣1，1]存在零點，

故有 ，即 ，解得：0≤a≤8，

故所求實數a的范圍是[0，8]

（2）解：若對任意的x1∈[1，2]，總存在x2∈[1，2]，使f（x1）=g（x2）成立，

只需函數y=f（x）的值域是函數y=g（x）的值域的子集，

a=0時，f（x）=x2+4x﹣5，x∈[1，2]的值域是[0，7]，

下面求g（x），x∈[1，2]的值域，

令t=4x﹣1，則t∈[1，4]，y=mt﹣2m+7，

①m=0時，g（x）=7是常數，不合題意，舍去；

②m＞0時，g（x）的值域是[7﹣m，2m+7]，

要使[0，7][7﹣m，2m+7]，

只需 ，解得：m≥7；

③m＜0時，g（x）的值域是[2m+7，7﹣m]，

要使[0，7][2m+7，7﹣m]，

只需 ，解得：m≤﹣ ，

綜上，m的范圍是（﹣∞，﹣ ]∪[7，+∞）

（3）解：由題意得 ，解得：t＜ ，

①t≤﹣6時，在區間[t，2]上，f（t）最大，f（﹣2）最小，

∴f（t）﹣f（﹣2）=t2+4t+4=6﹣4t，

即t2+8t﹣2=0，解得：t=﹣4﹣3 或t=﹣4+3 （舍去）；

②﹣6＜t≤﹣2時，在區間[t，2]上，f（2）最大，f（﹣2）最小，

∴f（2）﹣f（﹣2）=16=6﹣4t，解得：t=﹣ ；

③﹣2＜t＜ 時，在區間[t，2]上，f（2）最大，f（t）最小，

∴f（2）﹣f（t）=﹣t2﹣4t+12=6﹣4t，

即t2=6，解得：t= 或t=﹣ ，

故此時不存在常數t滿足題意，

綜上，存在常數t滿足題意，

t=﹣4﹣3 或t=﹣

【解析】（1）求出函數的對稱軸，得到函數的單調性，解關于a的不等式組，解出即可；（2）只需函數y=f（x）的值域是函數y=g（x）的值域的子集，通過討論m=0，m＞0，m＜0的情況，得到函數的單調性，從而確定m的范圍即可；（3）通過討論t的范圍，結合函數的單調性以及f（2），f（﹣2）的值，得到關于t的方程，解出即可．
【考點精析】關于本題考查的利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數，需要了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能得出正確答案．