Question

甲、乙、丙三名射擊運動員射中目標的概率分別為、a、a(0＜a＜1)，三人各射擊一次，擊中目標的次數記為ξ.
(1)求ξ的分布列及數學期望；
(2)在概率P(ξ＝i)(i＝0、1、2、3)中，若P(ξ＝1)的值最大，求實數a的取值范圍．

Answer 1

（1），ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	(1－a)2	(1－a2)	(2a－a2)

（2）

(1)P(ξ)是“ξ個人命中，3－ξ個人未命中”的概率．其中ξ的可能取值為0、1、2、3.
P(ξ＝0)＝(1－a)²＝(1－a)²；
P(ξ＝1)＝·(1－a)²＋a(1－a)＝(1－a²)；
P(ξ＝2)＝·a(1－a)＋a²＝(2a－a²)；
P(ξ＝3)＝·a²＝.
所以ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	(1－a)2	(1－a2)	(2a－a2)

ξ的數學期望為
E(ξ)＝0×(1－a)²＋1×(1－a²)＋2×(2a－a²)＋3×＝.
(2)P(ξ＝1)－P(ξ＝0)＝[(1－a²)－(1－a)²]＝a(1－a)；
P(ξ＝1)－P(ξ＝2)＝[(1－a²)－(2a－a²)]＝；
P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝[(1－a²)－a²]＝.
由和0＜a＜1，得0＜a≤，即a的取值范圍是.