Question

【題目】已知函數f（x）=|ax-2|+lnx（其中a為常數）

（1）若a=0，求函數g（x）=的極值；

（2）求函數f（x）的單調區間；

（3）令F（x）=f（x）-，當a≥2時，判斷函數F（x）在（0，1]上零點的個數，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）極大值為e，無極小值．（2）見解析（3）見解析

【解析】

（1）直接利用導數求函數的極值；（2）對a分a≤0和a＞0兩種情況討論，利用導數求函數的單調區間；（3）由題得|ax-2|=-lnx，先求出函數y=-lnx在（0，1]上為減函數，函數的最小值為y=1，再對a分類討論，結合數形結合分析得到函數F（x）在（0，1]上零點的個數.

解：（1）當a=0時，f（x）=2+lnx，

g（x）=，g'（x）=-，由g'（x）=0，得x=，

當0＜x＜時，g′（x）＞0 g（x）單調遞增：

當x＞時，g′（x）＜0，g（x）單調遞減，即當x=，時函數g（x）取得極大值，極大值為g（）=e，無極小值．

（2）若a≤0．則f（x）=-ax+2+lnx，f′（x）=-a+＞0，

∴f（x）在（0，+∞）上單調遞增，

若a＞0，則f（x）=，

當x≥時，f′（x）=a+＞0，∴f（x）在[，+∞）上單調遞增，

當0＜x＜時，f′（x）=-a+，

由f′（x）＞0得0＜x＜，此時函數單調遞增，

由f′（x）＜0得＜x＜，此時函數單調遞減，

綜上當a≤0時，f（x）的單調遞增區間為（0，+∞），

當a＞0時，f（x）的單調遞增區間為（0，），[，+∞），單調遞減區間為（，）．

（3）F（x）=f（x）-=|ax-2|+lnx-，

由F（x）=0得|ax-2|=-lnx，

則k(x)=-lnx，則函數在（0，1]上為減函數，函數的最小值為y=1，

當時，y=|ax-2|的零點為∈（0，1],

當x時，F（x）=f（x）-=|ax-2|+lnx，

由F（x）=0，得，即.

令，，所以在單調遞增，，又，所以時，

因為，所以時F（x）無零點.

當x≥時，y=ax-2，設h（x）=ax-2，

當h（1）≥1．即a-2≥1，即a≥3時，兩個函數有1個交點，即函數F（x）在（0，1]上零點的個數為1個，

當h（1）＜1．即a-2＜1，即2＜a＜3時，兩個函數有0個交點，即函數F（x）在（0，1]上零點的個數為0個，

綜合得2≤a＜3時，函數F（x）在（0，1]上零點的個數為0個，a≥3時，函數F（x）在（0，1]上零點的個數為1個，