Question

【題目】一塊邊長為的正三角形薄鐵片，按如圖所示設計方案，裁剪下三個全等的四邊形（每個四邊形中有且只有一組對角為直角），然后用余下的部分加工制作成一個“無蓋”的正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）形容器．

（Ⅰ）請將加工制作出來的這個“無蓋”的正三棱柱形容器的容積表示為關于的函數，并標明其定義域；

（Ⅱ）若加工人員為了充分利用邊角料，考慮在加工過程中，使用裁剪下的三個四邊形材料恰好拼接成這個正三棱柱形容器的“頂蓋”．

（1）請指出此時的值（不用說明理由），并求出這個封閉的正三棱柱形容器的側面積；

（2）若還需要在該正三棱柱形容器中放入一個金屬球體，試求該金屬球體的最大體積．

Answer 1

【答案】（1）； （2）.

【解析】

（Ⅰ）先求三棱柱的高，底面積,再求三棱柱的容積V和函數的定義域. （Ⅱ）(1) 此時，而相應棱柱的高，再求側面積.(2)先求得 正三棱柱的高為，底面正三角形的內切圓半徑為，再分析得到球體體積最大時，其直徑應與高相等，即得球體半徑和該金屬球體的最大體積．

（Ⅰ）結合平面圖形數據及三棱柱直觀圖，易求得：

三棱柱的高，其底面積

則三棱柱容器的容積

即所求函數關系式為．

（Ⅱ）（1）此時，而相應棱柱的高，

故（注：側面積求法不唯一）

（2）結合底面邊長和棱柱的高的數據可得：

①該正三棱柱的高為；②底面正三角形的內切圓半徑為，

由此易知球體體積最大時，其直徑應與高相等，則球體半徑，

故球體最大體積