Question

已知函數f(x)=x³+x-16.
(1)求曲線y=f(x)在點(2,-6)處的切線方程.
(2)如果曲線y=f(x)的某一切線與直線y=-x+3垂直,求切點坐標與切線的方程.

Answer 1

(1) y=13x-32   (2) 切點坐標為(1,-14)或(-1,-18)  y=4x-18或y=4x-14

(1)可判定點(2,-6)在曲線y=f(x)上.
∵f'(x)=(x³+x-16)'=3x²+1,
∴在點(2,-6)處的切線的斜率為k=f'(2)=13,
∴切線的方程為y=13(x-2)+(-6),
即y=13x-32.
(2)∵切線與直線y=-x+3垂直,
∴切線的斜率k=4.
設切點的坐標為(x₀,y₀),則f'(x₀)=3+1=4,
∴x₀=±1,
∴或
∴切點坐標為(1,-14)或(-1,-18),
切線方程為y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18.
即y=4x-18或y=4x-14.