Question

【題目】如圖，在正方體中，，分別是棱，的中點，為棱上一點，且平面.

（1）證明：為中點；

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）銳二面角的余弦值為.

【解析】試題分析：（1）取的中點，連接，利用，證得四邊形為平行四邊形，則，所以為的中點；

（2）以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系.不妨令正方體的棱長為2，利用兩個面的法向量求解即可.

試題解析：

（1）證明：取的中點，連接，因為，所以為的中點，又為的中點，所以，因為平面，平面，平面平面，所以，即，又，所以四邊形為平行四邊形，則，所以為的中點.

（2）解：以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系.不妨令正方體的棱長為2，則，可得，，設(shè)是平面的法向量，則.令，得.

易得平面的一個法向量為，

所以 .

故所求銳二面角的余弦值為.