Question

【題目】設二次函數f（x）=ax2+bx+c（a≠0）在區間[﹣2，2]上的最大值、最小值分別是M，m，集合A={x|f（x）=x}．
（1）若A={1，2}，且f（0）=2，求M和m的值；
（2）若A={1}，且a≥1，記g（a）=M+m，求g（a）的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（0）=2可知c=2，

又A={1，2}，故1，2是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的兩實根．

∴ ，解得a=1，b=﹣2

∴f（x）=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，

因為x∈[﹣2，2]，根據函數圖象可知，當x=1時，

f（x）min=f（1）=1，即m=1；

當x=﹣2時，f（x）max=f（﹣2）=10，即M=10

（2）解：由題意知，方程ax2+（b﹣1）x+c=0有兩相等實根x1=x2=1，

根據韋達定理得到： ，即 ，

∴f（x）=ax2+bx+c=ax2+（1﹣2a）x+a，x∈[﹣2，2]其對稱軸方程為x= =1﹣

又a≥1，故1﹣

∴M=f（﹣2）=9a﹣2

m=

則g（a）=M+m=9a﹣ ﹣1

又g（a）在區間[1，+∞）上為單調遞增的，∴當a=1時，g（a）min=

【解析】（1）由f（0）=2得到c的值，集合A的方程可變為f（x）﹣x=0，因為A={1，2}，得到1，2是方程的解，根據韋達定理即可求出a和b，把a、b、c代入得到f（x）的解析式，在[﹣2，2]上根據函數的圖象可知m和M的值．（2）由集合A={1}，得到方程f（x）﹣x=0有兩個相等的解都為1，根據韋達定理求出a，b，c的關系式，根據a大于等于1，利用二次函數求最值的方法求出在[﹣2，2]上的m和M，代入g（a）=m+M中得到新的解析式g（a）=9a﹣ ﹣1，根據g（a）的在[1，+∞）上單調增，求出g（a）的最小值為g（1），求出值即可．
【考點精析】關于本題考查的二次函數的圖象和二次函數的性質，需要了解二次函數的圖象是一條拋物線，對稱軸方程為頂點坐標是；當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減才能得出正確答案．