Question

已知橢圓經過點，且兩焦點與短軸的一個端點構成等腰直角三角形．
（1）求橢圓的方程；
（2）動直線交橢圓C于A、B兩點，試問：在坐標平面上是否存在一個定點T，使得以AB為直徑的圓恒過點T．若存在，求出點T的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題設知，所以，橢圓經過點，代入可得b=1，，由此可知所求橢圓方程為
（2）首先求出動直線過（0，）點．當L與x軸平行時，以AB為直徑的圓的方程：；當L與y軸平行時，以AB為直徑的圓的方程：x²+y²=1．由．由此入手可求出點T的坐標．
解答：解：（1）∵橢圓的兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等腰直角三角形，
∴∴
又∵橢圓經過點，代入可得b=1，
∴，故所求橢圓方程為（3分）
（2）首先求出動直線過（0，）點．（5分）
當L與x軸平行時，以AB為直徑的圓的方程：
當L與y軸平行時，以AB為直徑的圓的方程：x²+y²=1
由
即兩圓相切于點（0，1），因此，所求的點T如果存在，只能是（0，1）．事實上，點T（0，1）就是所求的點．（7分）
證明如下：
當直線L垂直于x軸時，以AB為直徑的圓過點T（0，1）
若直線L不垂直于x軸，可設直線L：
由
記點A（x₁，y₁）、（9分）==
所以TA⊥TB，即以AB為直徑的圓恒過點T（0，1）
所以在坐標平面上存在一個定點T（0，1）滿足條件．（12分）
點評：本題考查圓錐曲線的性質和綜合運用，解題時要認真審題，仔細求解．