Question

【題目】已知函數f（x）=x|x﹣a|+2x（a∈R）
（1）當a=4時，解不等式f（x）≥8；
（2）當a∈[0，4]時，求f（x）在區間[3，4]上的最小值；
（3）若存在a∈[0，4]，使得關于x的方程f（x）=tf（a）有3個不相等的實數根，求實數t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=4時，f（x）=x|x﹣4|+2x，

當x≥4時，x（x﹣4）+2x≥8，解得x≥4（x≤﹣2舍去）；

當x＜4時，x（4﹣x）+2x≥8，解得2≤x＜4．

綜上可得，f（x）≥8的解集為[2，+∞）

（2）解：當a∈[0，3]時，f（x）=x（x﹣a）+2x=x2+（2﹣a）x，

對稱軸為x= ∈[﹣1， ]，

區間[3，4]在對稱軸的右邊，為增區間，可得f（3）為最小值，即為15﹣3a；

當a∈（3，4]時，當3＜x＜a時f（x）=x（a﹣x）+2x=﹣x2+（2+a）x，

對稱軸為x= ∈（ ，3]，區間（3，a）在對稱軸的右邊，為減區間；

當a≤x≤4時，f（x）=x（x﹣a）+2x=x2+（2﹣a）x，

對稱軸為x= ∈[ ，1]，

區間[3，4]在對稱軸的右邊，為增區間，

即有f（a）取得最小值，且為2a．

綜上可得，a∈[0，3]時，f（x）的最小值為15﹣3a；

a∈（3，4]時，f（x）的最小值為2a

（3）解：當x＜a時，f（x）=﹣x2+（2+a）x，對稱軸為x=

當a∈[0，2]知a﹣ = ≤0，可得x＜a為增函數；

當x≥a時，f（x）=x2+（2﹣a）x，對稱軸為x= ，

當a∈[0，2]知a﹣ = ＞0，可得x≥a為增函數；

則不滿足關于x的方程f（x）=tf（a）有3個不相等的實數根．

當a∈[2，4]時，a＞ +1＞ ﹣1，

∴y=f（x）在（﹣∞， +1）上單調增，在（ +1，a）上單調減，

在（a，+∞）上單調增，

∴當f（a）＜tf（a）＜f（ +1）時，

關于x的方程f（x）=tf（a）有三個不相等的實數根；

即2a＜t2a＜（ +1）2，

∵a∈[2，4]，∴1＜t＜ （1+ + ），

設h（a）= （1+ + ），

∵存在a∈[2，4]使得關于x的方程f（x）=tf（a）有三個不相等的實數根，

∴1＜t＜h（a）max，

又可證h（a）= （1+ + ）在[2，4]上單調增，

∴h（a）max=h（4）= ，

∴1＜t＜

【解析】（1）f（x）=x|x﹣4|+2x，討論當x≥4時，當x＜4時，去絕對值，解不等式，再求并集即可；（2）討論當a∈[0，3]時，當a∈（3，4]時，去絕對值，求出對稱軸，判斷單調性，可得最小值；（3）討論當x＜a時，當x≥a時，取絕對值，求出對稱軸，討論當a∈[0，2]，當a∈[2，4]，結合函數的單調性，求得極值，可得1＜t＜ （1+ + ），設h（a）= （1+ + ），運用單調性可得h（a）的最大值，進而得到所求t的范圍．