Question

【題目】已知各項均為正數的無窮數列的前項和為，且滿足（其中為常數）， .數列滿足.

（1）證明數列是等差數列，并求出的通項公式；

（2）若無窮等比數列滿足：對任意的，數列中總存在兩個不同的項， 使得，求的公比.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) .

【解析】試題分析：（1）仿寫式子，兩式相減得到，利用等差數列的定義和通項公式進行求解；（2）構造數列，利用遞減數列得到取值范圍，利用數列是特殊的函數，利用導數研究其單調性，利用確定公比的取值.

試題解析：（1）方法一：因為①，

所以②，

由②-①得， ，

即 ，又，

則，即.

在中令得， ，即.

綜上，對任意，都有，

故數列是以為公差的等差數列.

又，則.

方法二：因為，所以，又，

則數列是以為首項， 為公差的等差數列，

因此，即.

當時， ，又也符合上式，

故.

故對任意，都有，即數列是以為公差的等差數列.

（2）令，則數列是遞減數列，所以.

考察函數，因為，所以在上遞增，因此，從而 .

因為對任意，總存在數列中的兩個不同項， ，使得，所以對任意的都有，明顯.

若，當時，

有，不符合題意，舍去；

若，當時，

有 ，不符合題意，舍去；

故.