【題目】已知函數
有極值，且函數
的極值點是
的極值點，其中
是自然對數的底數.（極值點是指函數取得極值時對應的自變量的值）
（1）求
關于
的函數關系式；
（2）當
時，若函數
的最小值為
，證明： 
.
【答案】（1）
， 
（2）見解析
【解析】試題分析：（1）先分別求兩函數極值點，再根據條件得
關于
的函數關系式；最后求自變量取值范圍（2）先研究
導函數零點情況，僅有一個零點，再根據導函數符號變化規律確定最小值，最后再利用導數求最小值函數單調性，根據單調性證明不等式
試題解析：（1）因為
，令
，解得
.
列表如下.
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| 極小值 |
|
所以
時， 
取得極小值.
因為
，
由題意可知
，且
所以
，
化簡得
，
由
，得
.
所以
， 
.
（2）因為
，
所以
記
，則
，令
，解得
.
列表如下.
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| 極小值 |
|
所以
時， 
取得極小值，也是最小值，
此時， 
.
令
，解得
.
列表如下.
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|
|
| 極小值 |
|
所以
時， 
取得極小值，也是最小值.
所以
.
令
，則
，
記
， 
，
則
， 
.
因為
， 
，
所以
，所以
單調遞增.
所以
，
所以
.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
，直線
與E交于A、B兩點，且
，其中O為原點.
（1）求拋物線E的方程；
（2）點C坐標為
，記直線CA、CB的斜率分別為
，證明： 
為定值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
:
的一個焦點與拋物線
的焦點重合，且過點
.過點
的直線
交橢圓
于
， 
兩點， 
為橢圓的左頂點.
(Ⅰ)求橢圓
的標準方程；
(Ⅱ)求
面積的最大值，并求此時直線
的方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】定義：如果一個數列從第二項起，后一項與前一項的和相等且為同一常數，這樣的數列叫“等和數列”，這個常數叫公和．給出下列命題：
①“等和數列”一定是常數數列；
②如果一個數列既是等差數列又是“等和數列”，則這個數列一定是常數列；
③如果一個數列既是等比數列又是“等和數列”，則這個數列一定是常數列；
④數列
是“等和數列”且公和
，則其前
項之和
；
其中，正確的命題為__________．（請填出所有正確命題的序號）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）＝
x3﹣
x2+x，a∈R．
（Ⅰ）當a＝1時，求f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若f（x）在區間[
，2]上單調遞增，求a的取值范圍；
（Ⅲ）當m＜0時，試判斷函數g（x）＝
-
其中f′（x）是f（x）的導函數）是否存在零點，并說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】對某校高三年級學生參加社區服務次數進行統計，隨機抽取M名學生作為樣本，得到這M名學生參加社區服務的次數．根據此數據作出了頻數與頻率的統計表如下，頻率分布直方圖如圖：
分組 | 頻數 | 頻率 |
[10，15） | 10 | 0.25 |
[15，20） | 24 | n |
[20，25） | m | p |
[25，30） | 2 | 0.05 |
合計 | M | 1 |
（1）求出表中M，p及圖中a的值；
（2）若該校高三學生有240人，試估計該校高三學生參加社區服務的次數在區間[10，15）內的人數；
（3）在所取樣本中，從參加社區服務的次數不少于20次的學生中任選2人，求至多一人參加社區服務次數在區間[25，30）內的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
，且
，函數
，其中
為自然對數的底數：
（1）如果函數
為偶函數，求實數
的值，并求此時函數的最小值；
（2）對滿足
，且
的任意實數
，證明函數
的圖像經過唯一的定點；
（3）如果關于
的方程
有且只有一個解，求實數
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，底面
為直角梯形， 
， 
，平面
底面
， 
為
的中點， 
是棱
上的點， 
， 
， 
.
（Ⅰ）求證：平面
平面
；
（Ⅱ）若異面直線
與
所成角的余弦值為
，求
的值.
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