Question

【題目】設函數f（x）=xlnx+ax，a∈R．
（1）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）若對x＞1，f（x）＞（b+a﹣1）x﹣b恒成立，求整數b的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=1時，f（x）=xlnx+x（x＞0）．f（1）=1．

f′（x）=lnx+2，f′（1）=2．

∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為：y﹣1=2（x﹣1），

化為：2x﹣y﹣1=0．

（2）解：對x＞1，f（x）＞（b+a﹣1）x﹣b恒成立，b＜ ．

令g（x）= ，則g′（x）= = ．

令h（x）=x﹣lnx﹣2，x＞1．

h′（x）=1﹣ ＞0，可知：函數h（x）在（1，+∞）上單調遞增．

∴h（x）＞h（1）=﹣1，

因此函數h（x）存在唯一零點x0∈（3，4），x0﹣lnx0﹣2=0．

使得g（x）在（1，x0）上單調遞減，在（x0，+∞）上單調遞增．

∴x=x0時，函數g（x）取得極小值即最小值，

∴b＜ = =x0．

因此整數b的最大值為3

【解析】（1）a=1時，f（x）=xlnx+x（x＞0）．f（1）=1．f′（x）=lnx+2，f′（1）=2．利用點斜式即可得出．（2）對x＞1，f（x）＞（b+a﹣1）x﹣b恒成立，b＜ ．令g（x）= ，則g′（x）= = ．令h（x）=x﹣lnx﹣2，x＞1．L利用導數可知：函數h（x）在（1，+∞）上單調遞增．h（x）＞h（1）=﹣1，因此函數h（x）存在唯一零點x0∈（3，4），x0﹣lnx0﹣2=0．可得x=x0時，函數g（x）取得極小值即最小值，代入可得b＜x0．即可得出．