Question

【題目】已知數列{an}的首項a1=1，前n項和為Sn ， 且滿足（n+1）an=2Sn（n∈N*）．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）設bn=ancos（πan），求數列{bn）的前n項和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵（n+1）an=2Sn，∴（n+2）an+1=2Sn+1．

兩式相減，得（n+1）an=nan+1，即 = ．

∴an= …

= … ×1=n

（2）解：∵bn=ancos（πan）=ncosnπ=n（﹣1）n，

∴Tn=1×（﹣1）+2×（﹣1）2+3×（﹣1）3+4×（﹣1）4+…+n×（﹣1）n，①

﹣Tn=1×（﹣1）2+2×（﹣1）3+3×（﹣1）4+4×（﹣1）5+…+n×（﹣1）n+1．②

①﹣②，整理得

2Tn=﹣1+（﹣1）2+（﹣1）3+（﹣1）4+…+（﹣1）n﹣n（﹣1）n+1= ﹣﹣n（﹣1）n+1

∴Tn= （﹣1）n﹣ ．

【解析】解法2：bn=ancos（πan）=ncosnπ=n（﹣1）n= ．

當n為偶數時，Tn=﹣1+2﹣3+4﹣5+6…﹣（n（n﹣1）﹣n= ﹣n=﹣ ．

∴Tn= （﹣1）n﹣ ．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數列的前n項和的相關知識，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系，以及對數列的通項公式的理解，了解如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．