Question

【題目】如圖，在中， 為直角， ．沿的中位線，將平面折起，使得，得到四棱錐．

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）求三棱錐的體積；

（Ⅲ）是棱的中點，過做平面與平面平行，設平面截四棱錐所得截面面積為，試求的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）;（Ⅲ）．

【解析】【試題分析】（1）依據題設條件，借助線面垂直的判定定理分析推證；（2）先確定三棱錐的高，再運用三棱錐的體積公式求解；（3）先確定截面的位置，再分析探求截面的面積：

（Ⅰ）證明：因為，且，

所以，同時，

又，所以面．

又因為，所以平面．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知： 平面，又平面，

所以，

又因為，所以．

又因為，所以平面．

所以， ．

依題意， ．

所以， ．

（Ⅲ）分別取的中點，并連接，

因為平面平面，所以平面與平面的交線平行于，因為是中點，所以平面與平面的交線是的中位線．同理可證，四邊形是平面截四棱錐的截面．

即： ．

由（Ⅰ）可知： 平面，所以，

又∵， ∴．

∴四邊形是直角梯形．

在中， ∴．

， ， ．

∴．