Question

【題目】2011年，國(guó)際數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)正式宣布，將每年的3月14日設(shè)為國(guó)際數(shù)學(xué)節(jié)，來源則是中國(guó)古代數(shù)學(xué)家祖沖之的圓周率．祖沖之，在世界數(shù)學(xué)史上第一次將圓周率（π）值計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后的第7位，即3.1415926到3.1415927之間，數(shù)列{an}是公差大于0的等差數(shù)列，其前三項(xiàng)是“31415926”中連續(xù)的三個(gè)數(shù)，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，其公比大于1的正整數(shù)且前三項(xiàng)是“31415926”中的三個(gè)數(shù)，且a3=b3 ．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）cn= ，求c1+c2+c3+…+c ．（n∈N*）

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題可知a1=1，a2=5，a3=9，

b1=4，b2=6，b3=9，

所以an=1+4（n﹣1）=4n﹣3，bn=4× ；

（Ⅱ）由（I）可知cn= ，

則c1+c3+…+ =1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ =1﹣ ，

c2+c4+…+ =（2+4+…+2n）﹣[（2﹣2）+（4﹣2）+（6﹣2）+…+（2n﹣2）]log32

= ﹣[ ﹣2n]log32

=2n﹣1+22n﹣2﹣（22n﹣2﹣2n﹣1）log32，

故所求值為1﹣ +2n﹣1+22n﹣2﹣（22n﹣2﹣2n﹣1）log32

【解析】（Ⅰ）通過題干確定數(shù)列{an}、{bn}的前三項(xiàng)，進(jìn)而可得結(jié)論；（Ⅱ）通過（I）可求出cn的表達(dá)式，利用裂項(xiàng)相消法可知奇數(shù)項(xiàng)的和，利用分組求和法可求出偶數(shù)項(xiàng)的和，進(jìn)而相加即得結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】掌握數(shù)列的前n項(xiàng)和是解答本題的根本，需要知道數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系．