【題目】如圖1，在平行四邊形
中，
，
，
，
、
分別為
、
的中點，現把平行四邊形1沿折起如圖2所示，連接
、
、
．
（1）求證：
；
（2）若
，求二面角
的正弦值．
【答案】(1)見解析(2) 
【解析】試題分析：（1）取
的中點
，連接
，
，
，根據條件可得
，
為正三角形，則
，
，可得
平面
從而得證；
（2）由勾股定理可得
，以為原點，以
，，為
軸建立空間直角坐標系，分別求得平面AB1C和平面A1B1A的法向量，由法向量求二面角的余弦即可，從而得正弦值.
試題解析：
證明：（1）取
的中點
，連接
，
，
，
∵在平行四邊形
中，
，
，
，
、
分別為
、
的中點，
∴
，
為正三角形，
則
，
，又∵
，
∴
平面
，
∵
平面
∴
；
（2）∵，，，、分別為、的中點，
∴
，
，
∵
，則
，
則三角形
為直角三角形，則
，
以為原點，以
，，為
軸建立空間直角坐標系，
則
，
，
，
，
則
則
，
，
，
設平面
的法向量為
，
則
，
令
，則
，
，
則
，
設平面
的法向量為
，則
，
令，則
，，即
，
則
∴二面角
的正弦值是.
名師導航單元期末沖刺100分系列答案
名校名卷單元同步訓練測試題系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設函數
. 若曲線y=
在點P(e,f(e))處的切線方程為y=2x-e（為自然對數的底數）.
（Ⅰ）求函數的單調區間；
（Ⅱ）若
，試比較
與
的大小，并予以證明.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某校為了推動數學教學方法的改革，學校將高一年級部分生源情況基本相同的學生分成甲、乙兩個班，每班各40人，甲班按原有模式教學，乙班實施教學方法改革.經過一年的教學實驗，將甲、乙兩個班學生一年來的數學成績取平均數再取整，繪制成如下莖葉圖，規定不低于85分(百分制)為優秀，甲班同學成績的中位數為74.
(1)求
的值和乙班同學成績的眾數；
(2)完成表格，若有
以上的把握認為“數學成績優秀與教學改革有關”的話，那么學校將擴大教學改革面，請問學校是否要擴大改革面？說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某調查機構隨機調查了
歲到
歲之間的
位網上購物者的年齡分布情況，并將所得數據按照
，
，
，
，
分成
組，繪制成頻率分布直方圖（如圖）.
（1）求頻率分布直方圖中實數
的值及這位網上購物者中年齡在
內的人數；
（2）現采用分層抽樣的方法從參與調查的位網上購物者中隨機抽取
人，再從這人中任選
人，設這人中年齡在內的人數為
，求的分布列和數學期望.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】平面直角坐標系
中，已知橢圓
（
）的左焦點為
，離心率為
，過點且垂直于長軸的弦長為
．
（1）求橢圓
的標準方程；
（2）若過點
的直線與橢圓相交于不同兩點
、
，求
面積的最大值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】響應“文化強國建設”號召，某市把社區圖書閱覽室建設增列為重要的民生工程.為了解市民閱讀需求，隨機抽取市民200人做調查，統計數據表明，樣本中所有人每天用于閱讀的時間（簡稱閱讀用時）都不超過3小時，其頻數分布表如下：（用時單位：小時）
用時分組 |
|
|
|
|
|
|
頻數 | 10 | 20 | 50 | 60 | 40 | 20 |
（1）用樣本估計總體，求該市市民每天閱讀用時的平均值；
（2）為引導市民積極參與閱讀，有關部門牽頭舉辦市讀書經驗交流會，從這200人中篩選出男女代表各3名，其中有2名男代表和1名女代表喜歡古典文學．現從這6名代表中任選2名男代表和2名女代表參加交流會，求參加交流會的4名代表中，喜歡古典文學的男代表多于喜歡古典文學的女代表的概率．
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