Question

【題目】如圖，三棱柱中，四邊形是菱形，,二面角為， .

（Ⅰ）求證：平面平面;

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）先由三棱柱性質將線面垂直轉化為，再由得線線垂直，又由是菱形得,最后根據線面垂直判定定理得線面垂直, 根據面面垂直判定定理得平面平面.（2）求二面角的大小，一般借助空間向量數量積求解，先根據條件建立空間直角坐標系，設立各點坐標，利用方程組解出各面法向量，利用向量數量積求兩法向量夾角，最后根據二面角與法向量夾角關系求二面角.

試題解析：（1）證明：在三棱柱中，由

得，則，

又是菱形, 得,而,

則,

故平面平面.

（2）

由題意得為正三角形，

取得中點為D，連CD,BD,

則,又

易得,則為二面角的平面角，

因, =,所以,

所以

過交點作,垂足為,連

則為二面角的平面角，

又 得

所以

另：建系用向量法相應給分。