Question

【題目】設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為.已知橢圓的離心率為，.

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）設(shè)直線：與橢圓交于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)在第二象限.與延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，若的面積是面積的3倍，求的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（I）根據(jù)離心率和弦長(zhǎng)列方程組，解方程組求得的值，進(jìn)而求得橢圓方程.（II）設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用的面積與面積的關(guān)系得到，利用向量結(jié)合平面向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算，求得兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系.分別聯(lián)立直線的方程與直線、直線的方程與橢圓的方程，根據(jù)兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系列方程，解方程求得的值.

（Ⅰ）設(shè)橢圓的焦距為，由已知得∴，，

所以，橢圓的方程為.

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)，，由題意，且

由的面積是面積的3倍，可得，所以

，從而，所以

，即.

易知直線的方程為，由消去，可得

由方程組消去，可得.

由，可得，

整理得，解得，或.

當(dāng)時(shí)，，符合題意；

當(dāng)時(shí)，，不符合題意，舍去.

所以，的值為.