Question

【題目】

已知函數，其中，記函數的定義域為.

（1）求函數的定義域；

（2）若函數的最大值為，求的值；

（3）若對于內的任意實數，不等式恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) .

(2) .

(3) .

【解析】分析：（1）根據使函數的解析式有意義的原則，構造關于自變量的不等式組，即可求解函數的定義域；

（2）利用對數函數的運算性質，化簡函數的解析式，并根據二次函數的圖象與性質，可分析出函數的最小值為時，即可求解實數的值.

（3）若不等式恒成立，即在上恒成立，設出新函數，利用基本不等式求解最大值，即可求解實數的取值范圍.

詳解：（1）要使函數有意義：則有，解得－2＜x＜1

∴ 函數的定義域為

（2）

因為

所以

因為，所以，

即，

由，得，

（3）由在恒成立，

得

因為，所以

所以在恒成立

設，令

則

即，因為，

所以（當且僅當時，取等號

所以

所以