Question

【題目】已知函數y=f（x）（x≠0）對于任意的x，y∈R且x，y≠0滿足f（xy）=f（x）+f（y）．
（1）求f（1），f（﹣1）的值；
（2）求證：y=f（x）為偶函數；
（3）若y=f（x）在（0，+∞）上是增函數，解不等式 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵對于任意的x，y∈R且x，y≠0滿足f（xy）=f（x）+f（y），

∴令x=y=1，得到：f（1）=f（1）+f（1），

∴f（1）=0，

令x=y=﹣1，得到：f（1）=f（﹣1）+f（﹣1），

∴f（﹣1）=0

（2）證明：由題意可知，令y=﹣1，得f（﹣x）=f（x）+f（﹣1），

∵f（﹣1）=0，∴f（﹣x）=f（x），

∴y=f（x）為偶函數

（3）解：由（2）函數f（x）是定義在非零實數集上的偶函數．

∴不等式 可化為 ，f（| |）≤f（1），

∴ ，即：﹣6≤x（x﹣5）≤6且x≠0，x﹣5≠0，

在坐標系內，如圖函數y=x（x﹣5）圖象與y=6，y=﹣6兩直線．

由圖可得x∈[﹣1，0）∪（0，2]∪[3，5）∪（5，6]，

故不等式的解集為：[﹣1，0）∪（0，2]∪[3，5）∪（5，6]．

【解析】（1）賦值法：在所給等式中，令x=y=1，可求得f（1），令x=y=﹣1可求得f（﹣1）；（2）在所給等式中令y=﹣1，可得f（﹣x）與f（x）的關系，利用奇偶性的定義即可判斷；（3）由題意不等式 可化為f（| |）≤f（1），根據單調性即可去掉符號“f”，轉化為具體不等式即可解得．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解命題的真假判斷與應用的相關知識，掌握兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系，以及對函數單調性的性質的理解，了解函數的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其并集．