Question

【題目】已知橢圓的離心率為，且橢圓上一點與橢圓左右兩個焦點構成的三角形周長為.

（1）求橢圓的方程；

（2）如圖，設點為橢圓上任意一點，直線和橢圓交于兩點，且直線與軸分別交于兩點，求證： .

Answer 1

【答案】(1) ;(2)詳見解析.

【解析】試題分析：（1）由，又，聯立求出 、 、的值，即可得出橢圓的方程；（2）設，則，求出直線的方程與直線方程，可得的坐標，利用斜率公式只要證明即可得出結果.

試題解析：∵，∴

∴

∴橢圓方程為

（2）

設，則，

直線方程為

令,則

∴

同理

∵和均為銳角，

∴

∴

∴與互余，

∴

【方法點晴】本題主要考查待定系數求橢圓方程以及直線與橢圓的位置關系，屬于難題.用待定系數法求橢圓方程的一般步驟；①作判斷：根據條件判斷橢圓的焦點在軸上，還是在軸上，還是兩個坐標軸都有可能；②設方程：根據上述判斷設方程或 ；③找關系：根據已知條件，建立關于、、的方程組；④得方程：解方程組，將解代入所設方程，即為所求.