Question

【題目】如圖1，四棱錐中，底面，面是直角梯形，為側棱上一點.該四棱錐的俯視圖和側（左）視圖如圖2所示.

（1）證明：平面；

（2）線段上是否存在點，使與所成角的余弦值為？若存在，找到所有符合要求的點，并求的長；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）存在；點位于點處，此時；或中點處，此時

【解析】

(1)利用俯視圖和勾股定理逆定理可得,再推出,即可推出結論.

(2)假設存在滿足條件的點,建立空間直角坐標系,設(),依據題設條件列出等式求解,有解則存在,無解則不存在.

(1)證明:由俯視圖可得,,

所以,

又因為平面,

所以,

又,

所以平面;

(2)線段上存在點,使與所成角的余弦值為.

證明如下:

因為平面,,

所以兩兩垂直,故建立如圖所示的空間直角坐標系.

所以,,,,.

設,其中.

所以,.

要使與所成角的余弦值為,則有,

所以,解得或2,均適合.

故點位于點處,此時;或中點處,此時,

有與所成角的余弦值為.