Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求的單調區間；

（2）當，，且，關于的方程有唯一實數解，求實數的值.

Answer 1

【答案】（1）單調遞增區間為，單調遞減區間為；（2）.

【解析】

（1）將代入函數的解析式，求出該函數的定義域與導數，利用導數能求出函數的單調增區間與減區間；

（2）由題意知，方程有唯一實數解，由參變量分離法得知方程有唯一解（其中），構造函數，利用導數研究函數的單調性與極值，利用數形結合思想可得出正實數的值.

（1）當時，，定義域為，

.

當時，；當時，.

所以，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為；

（2）當，時，，

由于，由題意知，方程有唯一實數解，則方程有唯一解，

構造函數，其中，則，令，得.

因為函數在其定義域上為減函數 ，

當時，；當時，.

所以，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為，

所以，函數的極小值為，作出函數和的圖象如下圖所示：

，則，由圖象可知，當時，即當時，直線與函數的圖象只有一個交點，因此，.