Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線，圓，已知直線與圓相切，且與拋物線相交于兩點.

（Ⅰ）求直線在軸上截距的取值范圍；

（Ⅱ）設是拋物線的焦點，，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或．

【解析】

（Ⅰ）設直線的方程為，由直線與圓相切，可得，直線的方程代入，消去，由直線與拋物線相交于，兩點，得，即可求直線在軸上截距的取值范圍；

（Ⅱ）由，結合韋達定理和條件，解方程，即可求直線的方程．

解：（Ⅰ）設直線的方程為，的圓心為，半徑為1，

由直線與圓相切，

得，化簡得，

直線的方程代入，消去，得，

由直線與拋物線相交于，兩點，得△，即，

將代入上式，得．

解得或，

注意到，從而有或，即.

（Ⅱ）設，，，，，

由得，，

所以

，

將，代入上式，

由，得，

所以，即．

解得，或（舍去）．

故．

所以直線的方程為或．