Question

【題目】已知AB為半圓O的直徑，AB=4，C為半圓上一點，過點C作半圓的切線CD，過點A作AD⊥CD于D，交半圓于點E，DE=1．
（Ⅰ）求證：AC平分∠BAD；
（Ⅱ）求BC的長．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）連接OC，因為OA=OC，所以∠OAC=∠OCA，
因為CD為半圓的切線，所以OC⊥CD，
又因為AD⊥CD，所以OC∥AD，
所以∠OCA=∠CAD，∠OAC=∠CAD，所以AC平分∠BAD．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知=，∴BC=CE，
連接CE，因為ABCE四點共圓，∠B=∠CED，所以cosB=cos∠CED，
所以，所以BC=2．

【解析】（Ⅰ）連接OC，因為OA=OC，所以∠OAC=∠OCA，再證明OC∥AD，即可證得AC平分∠BAD．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知= ， 從而BC=CE，利用ABCE四點共圓，可得∠B=∠CED，從而有 ， 故可求BC的長．