Question

【題目】如圖，長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，點P為DD1的中點．

（1）求證：直線BD1∥平面PAC；
（2）求證：平面PAC⊥平面BDD1B1；
（3）求CP與平面BDD1B1所成的角大小．

Answer 1

【答案】
（1）證明：設AC和BD交于點O，連PO，由P，O分別是DD1，BD的中點，故PO∥BD1，

∵PO平面PAC，BD1平面PAC，所以，直線BD1∥平面PAC

（2）解：長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，底面ABCD是正方形，則AC⊥BD，又DD1⊥面ABCD，則DD1⊥AC．

∵BD平面BDD1B1，D1D平面BDD1B1，BD∩D1D=D，∴AC⊥面BDD1B1．∵AC平面PAC，∴平面PAC⊥平面BDD1B1

（3）解：由（2）已證：AC⊥面BDD1B1，∴CP在平面BDD1B1內的射影為OP，∴∠CPO是CP與平面BDD1B1所成的角．

依題意得 ， ，在Rt△CPO中， ，∴∠CPO=30°

∴CP與平面BDD1B1所成的角為30°

【解析】（1）設AC和BD交于點O，由三角形的中位線的性質可得PO∥BD1 ， 從而證明直線BD1∥平面PAC．（2）證明AC⊥BD，DD1⊥AC，可證AC⊥面BDD1B1 ， 進而證得平面PAC⊥平面BDD1B1 ． （3）CP在平面BDD1B1內的射影為OP，故∠CPO是CP與平面BDD1B1所成的角，在Rt△CPO中，利用邊角關系求得∠CPO的大小．
【考點精析】通過靈活運用直線與平面平行的判定和平面與平面垂直的判定，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直即可以解答此題．