Question

設（

2

-x）¹⁰=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₀x¹⁰，求（a₀+a₂+…+a₁₀）²（a₁+a₃+…+a₉）²的值．

Answer 1

令x=1可得：a₀+a₁+a₂+…+a₁₀=(

2

-1)10，再令x=-1可得 a₀-a₁+a₂-a₃+…+a₈-a₉+a₁₀=(

2

+1)10．
由以上兩式可得 a₀+a₂+…+a₁₀ =

( 2 -1)10+( 2 +1)10

2

，a₁+a₃+…+a₉=

( 2 -1)10-( 2 +1)10

2

，
∴（a₀+a₂+…+a₁₀）² =

( 2 -1)20+( 2 +1)20+2

4

，（a₁+a₃…+a₉）²=

( 2 -1)20+( 2 +1)20-2

4

，
∴（a₀+a₂+…+a₁₀）²（a₁+a₃+…+a₉）² =

( 2 -1)20+( 2 +1)20+2

4

-

( 2 -1)20+( 2 +1)20-2

4

=1．