Question

已知(1+2

x

)n的展開式中，某一項(xiàng)的系數(shù)是它前一項(xiàng)系數(shù)的2倍，而等于它后一項(xiàng)的系數(shù)的

5

6

．
（1）求該展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；
（2）求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

（1）第r+1項(xiàng)系數(shù)為C_n^r•2^r，第r項(xiàng)系數(shù)為C_n^r-1•2^r-1，第r+2項(xiàng)系數(shù)為C_n^r+1•2^r+1
依題意得到

C rn 2r=2• C r-1n 2r-1 C rn = 5 6 C r+1n •2r+1

，即

2r=n-1 5(n-r)=3(r-1)

，解得n=7，
所以二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)和第5項(xiàng)．
所以T4=

C

37

(2

x

)3=280x

5

2

，T5=

C

47

(2

x

)4=560x2．
（2）設(shè)第r+1項(xiàng)的系數(shù)最大，則

C rn 2r≥ C r-1n 2r-1 C rn ≥ C r+1n •2r+1

解得

13

3

≤r≤

16

3

又因?yàn)閞∈N，所以r=5
∴展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T6=

C

57

(2

x

)5=672•x

5

2