Question

【題目】設函數f（x）的定義域為R，如果存在函數g（x），使得f（x）≥g（x）對于一切實數x都成立，那么稱g（x）為函數f（x）的一個承托函數．已知函數f（x）=ax2+bx+c的圖象經過點（-1，0）．

（1）若a=1，b=2．寫出函數f（x）的一個承托函數（結論不要求證明）；

（2）判斷是否存在常數a，b，c，使得y=x為函數f（x）的一個承托函數，且f（x）為函數的一個承托函數？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）g（x）=x （2）存在，a=c=，b=．

【解析】

（1）由題意可得c=1，進而得到f（x），可取g（x）=x；

（2）假設存在常數a，b，c滿足題意，令x=1，可得a+b+c=1，再由二次不等式恒成立問題解法，運用判別式小于等于0，化簡整理，即可判斷存在．

（1）函數f（x）=ax2+bx+c的圖象經過點（-1，0），

可得a-b+c=0，又a=1，b=2，

則f（x）=x2+2x+1，

由新定義可得g（x）=x為函數f（x）的一個承托函數；

（2）假設存在常數a，b，c，使得y=x為函數f（x）的一個承托函數，

且f（x）為函數的一個承托函數．

即有x≤ax2+bx+c≤x2+恒成立，

令x=1可得1≤a+b+c≤1，即為a+b+c=1，

即1-b=a+c，

又ax2+（b-1）x+c≥0恒成立，可得a＞0，且（b-1）2-4ac≤0，

即為（a+c）2-4ac≤0，即有a=c；

又（a-）x2+bx+c-≤0恒成立，

可得a＜，且b2-4（a-）（c-）≤0，

即有（1-2a）2-4（a-）2≤0恒成立．

故存在常數a，b，c，且0＜a=c＜，b=1-2a，

可取a=c=，b=．滿足題意．