Question

【題目】在直角坐標平面上，稱橫、縱坐標都是有理數的點為有理點．求滿足如下條件的最小正整數：每一個圓周上含有個有理點的圓，它的圓周上一定含有無窮多個有理點．

Answer 1

【答案】的最小值為3

【解析】

首先證明：若一個圓的圓周含有3個有理點，則該圓周上一定含有無窮多個有理點．

設平面上的圓周上含有2個有理點（），圓心．

由于線段的垂直平分線過圓心，則

由于（）都是有理數，因此，上述關于的二元一次方程組的解都是有理數，即是有理點．設有理點的坐標為

其中，（）．

則

．

故點（）都在的圓周上，即的圓周上有無窮多個有理點．其次，構造一個圓周上只含有兩個有理點的實例．．容易驗證，都在圓周上．

若圓周上還有不同于的有理點，

則，即．

因為左端為有理數，為無理數，所以，．進而．

故．這與不同于的假定矛盾．綜上所述，的最小值為3．