Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn).設(shè)不經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)、，焦點(diǎn)到直線的距離為.若直線、、的斜率依次成等差數(shù)列，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】

【解析】

設(shè)直線，點(diǎn)，，聯(lián)立直線和橢圓的方程，得到韋達(dá)定理，根據(jù)直線、、的斜率依次成等差數(shù)列得到，代入得，

求出d=,再求函數(shù)d(k)的取值范圍得解.

由條件，知點(diǎn)、.

設(shè)直線，點(diǎn)，.

則、滿足，即

. ①

由于點(diǎn)與不重合，且直線的斜率存在，故、為方程①的兩個(gè)不同實(shí)根.

因此，式①的判別式

. ②

由直線、、的斜率、、依次成等差數(shù)列，知

.

假設(shè).則直線的方程為，即經(jīng)過(guò)點(diǎn)，不符合條件.

因此，.

故由方程①及韋達(dá)定理知

. ③

由式②、③知

.

反之，當(dāng)、滿足式③及時(shí)，直線必不過(guò)點(diǎn)（否則，將導(dǎo)致，與式③矛盾）.

而此時(shí)、滿足式②，故直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)、，同時(shí)，也保證了、的斜率存在（否則，、中的某一個(gè)為，結(jié)合，知，與方程①有兩個(gè)不同的實(shí)根矛盾）.

又點(diǎn)到的距離為

. ④

注意到，.

令.則.

故式④可改寫(xiě)為

. ⑤

考慮到函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故由式⑤得

.