Question

【題目】設函數，其中x＞0，k為常數，e為自然對數的底數．

（1）當k≤0時，求的單調區間；

（2）若函數在區間(1，3)上存在兩個極值點，求實數k的取值范圍；

（3）證明：對任意給定的實數k，存在()，使得在區間(，)上單調遞增．

Answer 1

【答案】（1）單調遞減區間為（0,3），單調遞增區間為；（2）；（3）證明見解析。

【解析】

（1）f′（x）=．分別令f′（x）＞0，f′（x）＜0，解出x的取值范圍即可；

（2）函數f（x）在（1,3）內存在兩個極值點，有兩個實數根．化為，，因此在內存在兩個實數根．利用導數研究其單調性極值即可；

（3）令，得，在上單調遞增，進而分析可得結果.

,

（1）當時，對任意的都成立.

所以，當時，；當時，，

所以，的單調遞減區間為（0,3），單調遞增區間為.

（2）由函數在區間（1,3）上存在兩個極值點，得在區間（1,3）上至少有兩個解，即在區間（1,3）至少有兩個解.

令，，則

所以，當時，；當，，所以在區間（1,2）上單調遞減，在區間（2,3）上單調遞增.又，，

所以，，且，即.

此時，存在x1∈(1,2), x2∈(2,3)使得

且當x∈(1,x1)時，，當x∈(x1,x2)時，，當x∈(x2,，3)，，滿足條件.

所以k的取值范圍為

(3)令，得，當時，，當且僅當時等號成立，

所以，在上單調遞增，

所以，當時，，及，

當時，.

設為3和中較大的數，則當時，，

所以對任意給定的實數，存在，式得在區間上單調遞增.