Question

（2013•湖北）已知S_n是等比數列{a_n}的前n項和，S₄，S₂，S₃成等差數列，且a₂+a₃+a₄=﹣18．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）是否存在正整數n，使得S_n≥2013？若存在，求出符合條件的所有n的集合；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）a_n=（﹣）×（﹣2）ⁿ
（2）存在，見解析

（1）設數列{a_n}的公比為q，顯然q≠1，由題意得，解得q=﹣2，a₃=12，
故數列{a_n}的通項公式為a_n=a₃•q^n﹣3=12×（﹣2）^n﹣3=（﹣）×（﹣2）ⁿ．
（2）由（1）有a_n=（﹣）×（﹣2）ⁿ．若存在正整數n，使得S_n≥2013，則S_n==1﹣（﹣2）ⁿ，即1﹣（﹣2）ⁿ≥2013，
當n為偶數時，2ⁿ≤﹣2012，上式不成立；
當n為奇數時，1+2ⁿ≥2013，即2ⁿ≥2012，則n≥11．
綜上，存在符合條件的正整數n=2k+1（k≥5），且所有這樣的n的集合為{n|n=2k+1（k≥5）}．