Question

已知拋物線C：y=ax²（a＞0）的焦點到準線的距離為

1

4

，且C上的兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）關于直線y=x+m對稱，并且x1x2=-

1

2

，那么m=

3

2

．

Answer 1

分析：先由拋物線的定義p的意義可求出a，根據C上的兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）關于直線y=x+m對稱可設出直線AB的方程，把直線AB的方程與拋物線的方程聯立，根據根與系數的關系即可得出直線AB的方程，再根據線段AB關于直線y=x+m對稱性即可求出m的值．

解答：解：∵拋物線C：y=ax²（a＞0）的焦點到準線的距離為

1

4

，
∴

1

2a

=

1

4

，解得a=2．
∴拋物線C的方程為：y=2x²（a＞0）．
∵拋物線C上的兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）關于直線y=x+m對稱，
∴可設直線AB的方程為y=-x+t．
聯立

y=-x+t y=2x2

，消去y得2x²+x-t=0，
∵直線AB與拋物線相較于不同兩點，∴△=1+4t＞0．
據根與系數的關系得，x1+x2=-

1

2

，x1x2=-

t

2

，由已知x1x2=-

1

2

，∴t=1．
于是直線AB的方程為y=-x+1，
設線段AB的中點為M（x_M，y_M），則xM=

x1+x2

2

=-

1

4

，
∴y_M=-(-

1

4

)+1=

5

4

．
把M(-

1

4

，

5

4

)代入直線y=x+m得

5

4

=-

1

4

+m，解得m=

3

2

．
故答案為

3

2

．

點評：熟練掌握拋物線的定義p的意義、直線（或線段）關于直線的對稱性、中點坐標公式是解題的關鍵．