Question

【題目】已知函數(shù)（）．

（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）若不等式對(duì)任意恒成立．（i）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（ii）試比較與的大小，并給出證明（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)， ）．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）一求切點(diǎn)，二求切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，即切線的斜率；（2）只需求出函數(shù)在區(qū)間上的最大值即可，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，進(jìn)一步求其最值構(gòu)造不等式求解；比較大小可將兩個(gè)值看成函數(shù)值，然后利用函數(shù)的性質(zhì)求解.

試題解析：（1）因?yàn)?/span>時(shí)， ， ，所以切點(diǎn)為， ，所以時(shí)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．
（2）（）由，所以，①當(dāng)時(shí)， ， ，∴在上單調(diào)遞增， ，∴不合題意；②當(dāng)即時(shí)， 在上恒成立，∴在上單調(diào)遞減，有，∴滿足題意；③若即時(shí)，由，可得，由，可得，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴，∴不合題意，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是．
（）時(shí)，“比較與的大小”等價(jià)于“比較與的大小”，設(shè)，（ ），則，∴在上單調(diào)遞增，因?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)， ，即，所以，當(dāng)時(shí)， ，即，∴，綜上所述，當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， .