Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x+ +b，其中a，b是常數(shù)且a＞0．
（1）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明f（x）在區(qū)間（0， ]上是單調(diào)遞減函數(shù)；
（2）已知函數(shù)f（x）在區(qū)間[ ，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，且在區(qū)間[1，2]上f（x）的最大值為5，最小值為3，求a的值．

Answer 1

【答案】
（1）證法一：∵函數(shù)f（x）=x+ +b，其中a，b是常數(shù)且a＞0，

任取設(shè)0＜x1＜x2≤ ，

則x1﹣x2＜0，0＜x1x2＜a，

f（x1）﹣f（x2）=（x1+ +b）﹣（x2+ +b）=（x1﹣x2）﹣ =（x1﹣x2） ＞0，

即f（x1）＞f（x2），

∴f（x）在區(qū)間（0， ]上是單調(diào)遞減函數(shù)；

證法二：∵函數(shù)f（x）=x+ +b，其中a，b是常數(shù)且a＞0，

∴f′（x）=1﹣ = ，

當(dāng)x∈（0， ]時(shí)，f′（x）≤0恒成立，

故f（x）在區(qū)間（0， ]上是單調(diào)遞減函數(shù)

（2）已知函數(shù)f（x）在區(qū)間[ ，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，且在區(qū)間[1，2]上f（x）的最大值為5，最小值為3，

當(dāng)a≤1時(shí)，即 ，解得：a=﹣2（舍去）；

當(dāng)1＜a≤2.25時(shí)，即 ，解得：a=0（舍去），或：a=16（舍去）；

當(dāng)2.25＜a＜4時(shí)， ，解得：a=3+2 （舍去），

當(dāng)a≥4時(shí)，即 ，解得：a=6；

綜上可得：a=6

【解析】（1）證法一：任取設(shè)0＜x1＜x2≤ ，作差比較可得f（x1）＞f（x2），結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義，可得：f（x）在區(qū)間（0， ]上是單調(diào)遞減函數(shù)；證法二：求導(dǎo)，分析出當(dāng)x∈（0， ]時(shí)，f′（x）≤0恒成立，故f（x）在區(qū)間（0， ]上是單調(diào)遞減函數(shù)；（2）結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分析函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上f（x）的最值，可求出滿足條件的a值．
【考點(diǎn)精析】掌握函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和函數(shù)的最值及其幾何意義是解答本題的根本，需要知道單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且x/span>1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（小）值；利用圖象求函數(shù)的最大（小）值；利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（小）值．