Question

【題目】已知直線l與曲線y2=4x（y≥0）交于A，D兩點（A在D的左側），A，D兩點在x軸上的射影分別為點B，C，且|BC|=2． （Ⅰ）當點B的坐標為（1，0）時，求直線AD的斜率；
（Ⅱ）記△OAD的面積為S1 ， 梯形ABCD的面積為S2 ， 求 的范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由 B（1，0），則 A（1，y 1），代入y2=4x，得到y1=2， 又|BC|=2，則x2﹣x1=2，則x2=3，
代入y2=4x，得到y2=2 ，
∴kAD= = = ﹣1，
直線AD的斜率 ﹣1；
（Ⅱ）方法一：設直線 AD的方程為 y=kx+m，與 y軸交點為M（0，m），
則S1=S△OMD﹣S△OMA= |m（x2﹣x1）|=|m|．
由 ，整理得k2x2+（2km﹣4）x+m2=0，
所以△=（2km﹣4）2﹣4k2m2=16﹣16km＞0，
x1+x2=﹣ ，x1x2= ．
又S2= （y1+y2）|x2﹣x1|=y1+y2=kx1+m+kx2+m= ，
又y1y2= ＞0，所以k＞0，m＞0，
∴ = = = ，
由△=16﹣16km＞0，則0＜km＜1，
∴ = ＜ ，
∴ 的取值范圍（ ，+∞）．
方法二：設直線AD的方程為y=kx+m．
由 ，整理得k2x2+（2km﹣4）x+m2=0，
所以△=（2km﹣4）2﹣4k2m2=16﹣16km＞0，
x1+x2=﹣ ，x1x2= ．
|AD|= |x1﹣x2|= =2 ，
點O到直線AD的距離為d= ，則S1= |AD|d=|m|．
又S2= （y1+y2）|x2﹣x1|=y1+y2=kx1+m+kx2+m= ，
又y1y2= ＞0，則k＞0，m＞0，
∴ = = ，
因為△=16﹣16km＞0，則0＜km＜1，
= ＜ ，
∴ 的取值范圍（ ，+∞）
【解析】（Ⅰ）由B的坐標，可得A的坐標，又|BC|=2，可得D的坐標（3，2 ），運用直線的斜率公式，即可得到所求值；（Ⅱ）法一：設直線AD的方程為y=kx+m．M（0，m），運用三角形的面積公式可得S1=|m|，將直線方程和拋物線的方程聯立，運用判別式大于0和韋達定理，以及梯形的面積公式可得S2 ， 進而得到所求范圍；法二：設直線AD的方程為y=kx+m，代入拋物線的方程，運用韋達定理和弦長公式，點到直線的距離公式可得三角形的面積S1=|m|，梯形的面積公式可得S2 ， 進而得到所求范圍．