Question

【題目】已知數列的前項和為，滿足，且，正項數列滿足，其前7項和為42．

（1）求數列和的通項公式；

（2）令，數列的前項和為，若對任意正整數，都有，求實數的取值范圍；

（3）將數列的項按照“當為奇數時，放在前面；當為偶數時，放在前面”的要求進行排列，得到一個新的數列：，求這個新數列的前項和．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3），

【解析】

試題分析：（1）由已知得數列是等差數列，從而易得的通項公式，求得，利用求得，再求得可得數列通項，利用已知可得，又得是等差數列，由等差數列的基本量法可求得；（2）代入得，變形后得，從而易求得和，于是有，只要求得的最大值即可得的最小值，從而得的范圍，研究的單調性可得；（3）根據新數列的構造方法，在求新數列的前項和時，對分類：，和()三類，可求解．

試題解析：（1）∵，∴數列是首項為1，公差為的等差數列，

∴，即，

∴，

又，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

∵，∴，又，∴，∴數列是等差數列，且公差為，設的前項和為，

∵，∴，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

（2）由（1）知，

∴

，

∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

設，則，

∴數列為遞增數列，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分

∴，

∵對任意正整數，都有恒成立，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

（3）數列的前項和，數列的前項和，

①當時，；

②當時，，

特別地，當時，也符合上式；

③當時，．

綜上：，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．16分