Question

【題目】如圖，A、B分別是橢圓的左、右端點(diǎn)，F是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，且位于x軸上方，PA⊥PF.

（1）點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）設(shè)M是橢圓長(zhǎng)軸AB上的一點(diǎn)，M到直線AP的距離等于MB，求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離d的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）先求出PA、F的坐標(biāo)，設(shè)出P的坐標(biāo)，求出、的坐標(biāo)，由題意可得，且y＞0，

解方程組求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．

（2）求出直線AP的方程，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)，由M到直線AP的距離等于|MB|，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，再求出橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離d的平方得解析式，配方求得最小值．

試題解析：

（1）由已知可得點(diǎn)A（﹣6，0），F(xiàn)（4，0），設(shè)點(diǎn)P（x，y），則=（x+6，y），=（x﹣4，y）．

由已知可得，2x2+9x﹣18=0，解得x=，或x=﹣6．

由于y＞0，只能x=，于是y=．∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是．

（2）直線AP的方程是 ，即 x﹣y+6=0．

設(shè)點(diǎn)M（m，0），則M到直線AP的距離是．

于是=|6﹣m|，又﹣6≤m≤6，解得m=2，故點(diǎn)M（2，0）．

設(shè)橢圓上的點(diǎn)（x，y）到點(diǎn)M的距離為d，有 d2=（x﹣2）2+y2 =x2﹣4x+4+20﹣x2 =（x﹣）2+15，

∴當(dāng)x=時(shí)，d取得最小值．