Question

已知點P在曲線y=

4

ex+1

上，a為曲線在點P處的切線的傾斜角，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：由導函數的幾何意義可知函數圖象在切點處的切線的斜率值即為其點的導函數值，結合函數的值域的求法利用基本不等式求出k的范圍，再根據k=tanα，結合正切函數的圖象求出角α的范圍．

解答：解：根據題意得f′（x）=-

4ex

e2x+2ex+1

，
∵k=-

4

ex+ 1 ex +2

≥ -

4

2+2

=-1，
且k＜0
則曲線y=f（x）上切點處的切線的斜率k≥-1，
又∵k=tanα，結合正切函數的圖象
由圖可得α∈[

3π

4

，π)，
故答案為：[

3π

4

，π)．

點評：本題考查了導數的幾何意義，以及利用正切函數的圖象求傾斜角等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．