Question

定義在非零實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f（x）滿足關(guān)系式f（xy）=f（x）+f（y）且f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性并證明你的結(jié)論；
（2）解不等式f（x）+f（x-

1

2

）≤0．

Answer 1

分析：（1）令x=y=1，利用恒等式f（xy）=f（x）+f（y）可求f（1），令x=y=-1，求f（-1），令y=-1，代入f（xy）=f（x）+f（y），結(jié)合（1）的結(jié)論即可證得f（-x）=f（x）
（3）利用恒等式變f（x）+f（x-

1

2

）≤0為）f[x（x-

1

2

）]≤0．由（1）的結(jié)論知函數(shù)是一偶函數(shù)，由函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）上的遞增函數(shù)，即可得到關(guān)于x的不等式．

解答：解：（1）f）x）為偶函數(shù)，證明如下：
證明：令x=y=1，由f（xy）=f（x）+f（y）得f（1）=0
令x=y=-1，則f（0）=2f（-1）
∴f（-1）=0------------------（2分）
又令y=-1，則f（-x）=f（x）+f（-1）=f（x），所以f（x）為偶函數(shù)------（5分）
（2）∵f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)
∴f（x）≤0=f（1）時(shí)，0＜x≤1
又由（1）得結(jié)論-1≤x＜0
∵f（x）+f（x-

1

2

）=f[x（x-

1

2

）]≤0．
∴-1≤x(x-

1

2

)≤1且x（x-

1

2

）≠0
解可得到，

1- 17

4

≤x＜0或0＜x＜

1

2

或

1

2

＜x≤

1+ 17

4

（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用賦值求解抽象函數(shù)的函數(shù)值，及奇偶性的判斷與證明，以及由函數(shù)的單調(diào)性解抽象不等式，抽象不等式的解法基本上都是根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性將其轉(zhuǎn)化為一元二次不等式或者是一元一次不等式求解，轉(zhuǎn)化時(shí)要注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性，別忘記定義域的考慮．