Question

定義在非零實數集上的函數f（x）滿足f（xy）=f（x）+f（y），且f（x）是區間（0，+∞）上的遞增函數
（1）求f（1），f（-1）的值；
（2）求證：f（-x）=f（x）；
（3）解關于x的不等式：f(2)+f(x-

1

2

)≤0．

Answer 1

分析：（1）令x=y=1，利用恒等式f（xy）=f（x）+f（y）求f（1），令x=y=-1，利用恒等式f（xy）=f（x）+f（y）求f（-1）
（2）令y=-1，代入f（xy）=f（x）+f（y），結合（1）的結論即可證得f（-x）=f（x）
（3）利用恒等式變f(2)+f(x-

1

2

)≤0為f（2x-1）≤f（-1），由（2）的結論知函數是一偶函數，由函數在區間（0，+∞）上的遞增函數，即可得到關于x的不等式．

解答：解：（1）令，則f（1）=f（1）+f（1）
∴f（1）=0（3分）
令x=y=-1，則f（1）=f（-1）+f（-1）
∴f（-1）=0（6分）

（2）令y=-1，則f（-x）=f（x）+f（-1）=f（x）
∴f（-x）=f（x）（10分）

（3）據題意可知，
f（2）+f（x-

1

2

）=f（2x-1）≤0
∴-1≤2x-1＜0或0＜2x-1≤1（13分）
∴0≤x＜

1

2

或

1

2

＜x≤1（15分）

點評：本題考點是抽象函數及其運用，考查用賦值的方法求值與證明，以及由函數的單調性解抽象不等式，抽象不等式的解法基本上都是根據函數的單調性將其轉化為一元二次不等式或者是一元一次不等式求解，轉化時要注意轉化的等價性，別忘記定義域這一限制條件．